review Back-Scattering correction and further extensions of Amiets TE noise model Part 1: theory - reduced wave equation

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(수식/그림 IPAD)


Back-Scattering correction and further extensions of Amiet's trailing-edge noise model Part 1: theory
Michel Roger, Stephane Moreau

다음 저자는 Amiet's의 광대역 날개 뒷전 소음에 대한 해석적 모델을 개선하기 위해 위의 Schwarzschild's solution을 Acoustic domain에 반복수행(iterative method) 하였다. 

Schwarzschild's solution는 식(1)의 형태의 편미분방정식이 (2)와 (3)의 경계조건을 가지고 어떠한 공간을 지배하고 있을 때 그 해가 (4)로서 구해짐을 나타낸다. 

 Fig 1.과 같은 유동 환경 내 평판에 의한 방사소음의 음원은 Fig 2.로부터 이해 할 수 있다. 평판 표면에 난류경계층이 형성되면, 그 내부에는 와도(vorticity)를 가진 와(eddy)들이 존재하고 와가 유동에 따라 하류(downstream)로 흘러 와류(vortex)가 형성된다. 경계층 내 다양한 크기(length)와 강도(intensity)의 와가 거의 주기적으로 평판 표면에 압력을 가하여 평판 상에는 다양한 주파수의 압력이 중첩된 압펵분포가 형성된다. 또한 이러한 압력분포는 와가 와류로 발전함에 따라 (유동에 따라 와가 하류로 흐름에 따라) 대류하게 된다. 경계층 내의 와 만에 의한 평판 표면 상의 압력장을 작용압력장(incident pressure field, pi)라 명명한다.

 와에 의해 형성된 경계층 내 또는 평판상의 압력장은 날개 뒷전에서 산란하게 된다. 산란이란 파동이 진행함에 따라 갑작스럽게 주위 경계가 변함에 따라 그 진행 방향이 변화는 현상이다. 날개 뒷전 이후 급작스럽게 평판의 경계면이 사라짐으로서 압력장(음장)은 산란된다. 이 산란으로 인해 작용압력장 이외 압력장이 뒷전으로 부터 앞전으로 형성되는데 이를 산란/유도압력장 (scattered/induced pressure field, ps)라 한다.

 이러한  작용과 산란 압력장이 중첩되어 최종적으로 형성되는 평판 위 최종압력장을 전체압력장(total pressure field, pt / p')라 하며, p'는  유동 내 평판 상의 소음원이 된다. 이 때 입사되는 유동 U가 일정하다면 유동장이 중첩된 음장은 식 (6) (convective wave equation)에 의해 지배된다.

우선 식(6)으로 부터 평판 표면상의 p'를 구해 봄으로서 음원을 구해 보자. Schwarzschild's solution을 이용하여 식(6)을 풀기 위해선 두 가지가 선행되어야 하는데 첫째, Schwarzschild's solution은 0~infinity 까지의 적분 구간이 필요함으로, Fig 1. 내 평판의 영역(-2b <= x <=0)를 -inf<= x <=0 으로 변환한다. 다음으로 식 (6), convective wave equation,을 적절히 변화(manipulation)하여 식(1)의 꼴로 만든다.

식 (7)과 같이 전체음장을 주파수 영역에서 표현하면,  식(6)으로 부터(8)과 같은 식을 얻게 된다. 일련의 과정은 아래 그림과 같다.

다음으로 식 (8)이 (10)이 되는 과정은 아래와 같다.

(10)을 아래의 그림과 같이 변화시키자.

식  (10)에서 (11)로 변화되는 과정은 아래 그림과 같다. (11)를 reduced convective wave equation이라 하며, 이를 통해 convective wave equation를 Schwarzschild's solution을 구하기 위한 식 (1)과 같은 형태로 변화 시켰다.